t-Test, Chi-Quadrat, ANOVA, Regression, Korrelation... (2024)

Der t-Test ist einer der häufigsten Hypothesentests in der Statistik, wobei es drei Varianten des t-Tests gibt:

• Einstichproben t-Test
• t-Test für unabhängige Stichproben
• t-Test für abhängige Stichproben

Welcher t-Test berechnet wird, hängt davon ab, ob eine oder zwei Stichproben vorliegen. Bei zwei Stichproben wird weiter unterschieden, ob es sich um abhängige oder unabhängige Stichproben handelt. In diesem Tutorial geht es um den t-Test für eine Stichprobe, der auch als Einstichproben t-Test oder Einfacher t-Test bezeichnet wird.

Tipp: Willst du den t-Wert berechnen? Du kannst ihn für alle drei t-Tests ganz einfach online im t-Test Rechner auf DATAtab berechnen

Der t-Test für eine Stichprobe wird verwendet, um zu testen, ob sich die Grundgesamtheit von einem festgelegten Wert unterscheidet. Die Frage lautet also: Gibt es statistisch bedeutsame (signifikante) Unterschiede zwischen einem Stichproben-Mittelwert und dem festgelegten Wert? Der festgelegte Wert kann z.B. den restlichen Bevölkerungsanteil widerspiegeln oder ein festgelegtes Qualitätsziel welches kontrolliert werden soll.

Voraussetzungen für den Einstichproben t-Test

Bei einem t-Test für eine Stichprobe müssen die betrachteten Daten aus einer Zufallsstichprobe stammen, metrisches Skalenniveau besitzen und normalverteilt sein.

Einseitiger und zweiseitiger t-Test

Wenn du also wissen möchtest, ob sich eine Stichprobe von der Grundgesamtheit unterscheidet, musst du einen Einstichproben t-Test berechnen. Bevor der t-Test jedoch berechnet werden kann, müssen erstmal eine Fragestellung formuliert und die Hypothesen definiert werden. Daraus ergibt sich, ob ein einseitiger (gerichteter) oder ein zweiseitiger (ungerichteter) t-Test berechnet werden muss.

Die Fragestellung hilft dir, den Untersuchungsgegenstand abzugrenzen. Im Falle des einfachen t-Tests ergibt sich die Fragestellung wie folgt:

Für die obenstehenden Beispiele ergeben sich die Fragestellungen:

• Unterscheidet sich das Gesundheitsempfinden von ManagerInnen in Österreich von jenem der Gesamtbevölkerung in Österreich?
• Produziert die Produktionsanlage Schrauben mit dem Gewicht von 10 Gramm?
• Senkt das neue Medikament den Blutdruck innerhalb von einer Woche um 10 mmHg?

Hypothesen

Um nun im nächsten Schritt einen Einstichproben t-Test durchzuführen, werden folgende Hypothesen formuliert:

Einstichproben t-Test berechnen

Den t-Test berechnen kannst du entweder mit einer Statistik-Software wie DATAtab oder per Hand. Für die Berechnung per Hand wird zunächst die Teststatistik t benötigt. Die Teststatistik für den t-Test kann folgendermaßen berechnet werden

wobei die Standardabweichung die mithilfe der Stichprobe geschätzte Standardabweichung der Grundgesamtheit ist.

Um zu prüfen, ob sich der Stichprobenmittelwert signifikant von jenem der Grundgesamtheit unterscheidet, muss der kritische t-Wert berechnet werden. Hierzu wird zunächst der Freiheitsgrad, abgekürzt mit df (degree of freedom), benötigt. Der Freiheitsgrad ergibt sich, indem man die Anzahl der Stichproben minus eins rechnet.

Ist der Freiheitsgrad bekannt, kann mithilfe der Tabelle der t-Werte der kritische t-Wert ermittelt werden. Für eine Stichprobe mit der Größe von 12 Personen ergibt sich ein Freiheitsgrad von 11. Als Signifikanzniveau wird 5% angenommen. In der folgenden Tabelle sind die t Werte für eine einseitig offene Verteilung angegeben. Je nachdem, ob du nun einen einseitigen (gerichteten) oder zweiseitigen (ungerichteten) t-Test berechnen möchtest, musst du entweder den t-Wert bei 0,95 oder bei 0,975 ablesen. Für eine ungerichtete Hypothese und bei einem Alpha-Niveau von 5% ergibt sich der kritische t-Wert mit 2,201.

Liegt der berechnete t Wert unter dem kritischen t-Wert, ergibt sich kein signifikanter Unterschied zwischen der Stichprobe und der Grundgesamtheit, liegt er über dem kritischen t-Wert, ergibt sich ein signifikanter Unterschied.

t-Wert interpretieren

Der t-Wert ergibt sich aus der gemessenen Differenz geteilt durch die Streuung in den Stichprobendaten Je größer der Betrag von t ist, umso mehr spricht dies gegen die Nullhypothese. Ist der berechnete t-Wert vom Betrag größer als der kritische t-Wert wird die Nullhypothese abgelehnt.

Anzahl der Freiheitsgrade - df

Die Anzahl der Freiheitsgrade geben an, wie viele Werte frei variieren dürfen. Die Freiheitsgrade sind also die Anzahl der unabhängigen Einzelinformationen.

Einstichproben t-Test mit DATAtab berechnen

Als Beispiel für den t-Test für eine Stichprobe wird untersucht, ob ein an der Uni neu eingeführtes Online-Statistik-Tutorium einen Einfluss auf die Prüfungsergebnisse der Studierenden hat.

Die durchschnittliche Punktezahl beim Statistik-Test an einer Uni liegt seit Jahren bei 28 Punkten. Dieses Semester wurde ein neues Online-Statistik-Tutorium eingeführt. Nun möchte die Studiengangsleitung wissen, ob sich der Studienerfolg seit der Einführung des Statistik-Tutoriums verändert hat: Wirkt sich das Online-Statistik-Tutorium positiv auf die Prüfungsergebnisse aus?

Die betrachtete Grundgesamtheit umfasst alle Studierenden, die die Statistik Prüfung geschrieben haben, seit dem das neue Statistik-Tutorium eingeführt worden ist. Der zu vergleichende Referenzwert ist 28.

Der obere Datensatz besteht aus N=12 Fällen, mit einem Mittelwert von 32,33 und einer Standardabweichung von 5,46. Mithilfe von DATAtab oder der oben beschriebenen Formeln ergibt sich nun ein Standardfehler des Mittelwerts von 1,57 und eine t-Statistik von 2,75. Der t-Wert für den Datensatz ergibt sich damit mit 2,75.

Du möchtest nun wissen, ob deine Hypothese (die Punktezahl ist 28) signifikant ist oder nicht. Hierfür gibst du zunächst ein Signifikanzniveau in DATAtab an, in der Regel wird 5 % verwendet, welches vorausgewählt ist. Für den mit Datatab online berechneten t-Test erhältst du nun die untenstehende Tabelle.

Um eine Aussage treffen zu können, ob deine Hypothese bestätigt werden kann oder nicht, wird einer der beiden folgenden Werte verwendet:

• p-Wert (2-Seitig) (p-Wert)
• unteres und oberes Konfidenzintervall der Differenz

In diesem t-Test-Beispiel ist der p-Wert (2-seitig) gleich 0,02 also 2 %. In Worten gefasst bedeutet dies: Die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Grundgesamtheit eine Stichprobe mit der Mittelwertdifferenz von 4,33 oder mehr gezogen wird liegt bei 2 %. Das Signifikanzniveau ist mit 5 % festgelegt worden und ist damit größer als 2 %. Aus diesem Grund wird von einem signifikanten Unterschied zwischen der Stichprobe und der Grundgesamtheit ausgegangen.

Ob es einen signifikanten Unterschied gibt oder nicht, kann auch aus dem Konfidenzintervall der Differenz abgelesen werden. Verläuft die untere und die obere Grenze durch null, gibt es keinen signifikanten Unterschied. Ist dies nicht der Fall, liegt ein signifikanter Unterschied vor. In diesem Beispiel ist der untere Wert 0,86 und der obere Wert 7,81. Da der untere und der obere Wert null nicht streifen, kann von einem signifikanten Unterschied ausgegangen werden.

Damit wurde ganz einfach ein t-Test online erklärt und berechnet, probiere es gleich selber aus mit der Statistik Software auf Datatab.